一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ ｘ2_______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ─────────────── h→o h
＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是
____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。 0 0 ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。 ｄｘ3 ｘ ｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ｘ １ １ １ ①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ ｘ ｘ １－ ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ） ｘ ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ） ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄ ｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘ ｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ） -1 ① ０ ② １ ③ ２ ④ ３ ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ） ①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线 ｘ ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）
１
③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ） ｔ2 ａn＋１ ∞ ９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1 ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散 １０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 （二）每小题２分，共２０分 １１．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１
③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│ １２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ） ①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） １３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件 ｄ １４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，
则ｆ（ｘ）＝ （ ） ｄｘ ①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ④１－ｓｉｎｘ １５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④ｘ4－１ １ x １６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ） x→0 ｘ3 0 １ ① ０ ② １ ③ ── ④ ∞ ３ ｘｙ １７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ） x→0 ｘ2＋ｙ2 y→0 ① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１ １８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ） ① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ' ｄｐ ② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ─── ｄｙ ｄｐ ③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ─── ｄｙ １ ｄｐ ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ─── ｐ ｄｙ ∞ ∞ １９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ） n=o n=o ①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关 ｓｉｎｘ ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ） D ｘ 1 1 ｓｉｎｘ ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ __ 1 √y ｓｉｎｘ ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __ 1 √x ｓｉｎｘ ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __ 1 √x ｓｉｎｘ ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分） ___________ ／ ｘ－１ １．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。 √ ｘ（ｘ＋３） ｓｉｎ（９ｘ2－１６） ２．求 ｌｉｍ ─────────── 。 x→4/3 ３ｘ－４ ｄｘ ３．计算 ∫ ─────── 。 （１＋ｅx ）2 t 1 ｄｙ ４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。 0 t ｄｘ ５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。 ___ ６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。 x asinθ ７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。 0 0 ｙ＋１ ８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。 ｘ＋１ ３ ９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。 （１－ｘ）（２＋ｘ）四、应用和证明题（共１５分） １．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。 ___ １ ２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。 ｘ
附：高等数学（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题１分，共１０分） １．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１ １ ５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ ２ ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ） π/2 π ８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ 0 0 ９．三阶 １０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．② ６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③ （二）每小题２分，共２０分 １１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③ １６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②三、计算题（每小题５分，共４５分） １ １．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分） ２ １ １ １ １ １ ──ｙ'＝──（────－──－────） （２分） ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３ __________ １ ／ ｘ－１ １ １ １ ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分） ２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３ １８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６） ２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分） x→4/3 ３ １８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］ ＝ ────────────────────── ＝８ （２分） ３ １＋ｅx－ｅx ３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分） （１＋ｅx）2 ｄｘ ｄ（１＋ｅx） ＝∫─────－∫─────── （１分） １＋ｅx （１＋ｅx）2 １＋ｅx－ｅx １ ＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分） １＋ｅx １＋ｅx １ ＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分） １＋ｅx ４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分） ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ 所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分） ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分） ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２ 所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __ ６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ ｄｙ ＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分） ___ ２√ｙ π asinθ １ π ７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分） 0 0 ２ 0 π/2 ２ ＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分） 0 ３ ｄｙ ｄｘ ８．解：两边同除以（ｙ＋１）2 得 ──────＝────── （２分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 ｄｙ ｄｘ 两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 １ １ 亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分） １＋ｘ １＋ｙ １ １ ９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分） １－ｘ ２＋ｘ １ １ １ ＝──── ＋ ── ───── （１分） １－ｘ ２ ｘ １＋── ２ ∞ １ ∞ ｘn ｘ ＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分） n=0 ２ n=0 ２n ２ ∞ １ ＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn （ │ｘ│〈１） （２分） n=0 ２n+1四、应用和证明题（共１５分） ｄｕ １．解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ １ 解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分） ｋ ｍｇ 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分） ｋ __ １ ２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分） ｘ １ １ 而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分） __ ｘ2 √ｘ 因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分） 从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分） ___ １ 即当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── （１分） ｘ
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